A fórmula de Bhaskara é atribuída ao matemático indiano Bhaskara II, também conhecido como Bhaskaracharya, que viveu entre os séculos XII e XIII.

Sendo que, Bhaskara II foi um dos mais importantes matemáticos e astrônomos da Índia antiga.

Embora a fórmula de Bhaskara seja frequentemente associada a ele, é importante mencionar que conceitos semelhantes foram desenvolvidos em diferentes partes do mundo ao longo da história.

No entanto, Bhaskara II formulou a solução quadrática de maneira explícita e sistemática.

Em seu tratado matemático chamado “Lilavati”, Bhaskara II apresentou a fórmula para resolver equações quadráticas.

O “Lilavati” é uma obra abrangente que trata de vários tópicos matemáticos, incluindo aritmética, álgebra e geometria.

Ele descreveu a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes de uma equação quadrática em detalhes.

O trabalho de Bhaskara II contribuiu significativamente para o desenvolvimento da matemática no mundo antigo.

Suas contribuições abrangeram áreas como a álgebra, trigonometria, cálculo e astronomia.

A fórmula de Bhaskara ganhou reconhecimento mundial e passou a ser amplamente utilizada em todo o mundo para resolver equações quadráticas.

Ela é ensinada em escolas e universidades até hoje, destacando a importância duradoura do trabalho de Bhaskara II na matemática.

Sua contribuição foi fundamental para o progresso do conhecimento matemático e deixou um legado valioso para a história da matemática.

A Fórmula de Bhaskara é uma ferramenta matemática útil para resolver equações quadráticas, mas não está diretamente relacionada aos processos seletivos de emprego ou de admissão em instituições de ensino superior.

Descrição da Fórmula de Bhaskara

A famosa fórmula de Bhaskara é utilizada para encontrar as soluções de uma equação quadrática e é dada por:

x = (-b ± √(b^2 – 4ac)) / (2a)

Nesta fórmula, “x” representa as soluções da equação quadrática, enquanto “a”, “b” e “c” são os coeficientes numéricos da equação, com “a” sendo o coeficiente do termo quadrático, “b” o coeficiente do termo linear e “c” o termo constante.

A fórmula de Bhaskara permite calcular as raízes da equação quadrática, podendo ser raízes reais (quando o discriminante b^2 – 4ac é positivo) ou raízes complexas (quando o discriminante é negativo).

O símbolo “±” indica que devemos considerar as duas soluções possíveis, uma somando a raiz quadrada e outra subtraindo-a.

Essa fórmula é amplamente ensinada e utilizada em matemática e ciências aplicadas, permitindo determinar as raízes de uma equação quadrática em termos de seus coeficientes.

Ela é uma das principais ferramentas para resolver problemas envolvendo equações quadráticas em diversas áreas do conhecimento.

Onde a fórmula de Bhaskara pode ser utilizada?

A fórmula de Bhaskara é utilizada para encontrar as raízes de uma equação quadrática.

Uma equação quadrática é uma equação polinomial de segundo grau, na forma ax^2 + bx + c = 0, onde “a”, “b” e “c” são coeficientes numéricos.

Essa fórmula pode ser aplicada em uma variedade de situações e áreas do conhecimento, tais como:

• Matemática: A fórmula de Bhaskara é amplamente utilizada no estudo da álgebra e do cálculo.

• Física: A fórmula de Bhaskara é aplicada em várias áreas da física, como cinemática, lançamento de projéteis e dinâmica.

• Engenharia: A fórmula de Bhaskara é útil em várias disciplinas da engenharia, como engenharia civil, engenharia mecânica e engenharia elétrica.

• Economia e Finanças: A fórmula de Bhaskara é usada em análise de investimentos e problemas financeiros que envolvem cálculos de juros compostos, amortizações de empréstimos, determinação do ponto de equilíbrio, entre outros.

• Ciências da Computação: A fórmula de Bhaskara é aplicada em várias áreas da ciência da computação, como gráficos e renderização, física de jogos, modelagem de animações e processamento de imagens.

Esses são apenas alguns exemplos de áreas em que a fórmula de Bhaskara pode ser aplicada.

Em essência, sempre que houver a necessidade de encontrar as raízes de uma equação quadrática, a fórmula de Bhaskara pode ser utilizada como uma ferramenta eficaz para resolver o problema.

Como usar a fórmula de Bhaskara no dia a dia?

Embora a fórmula de Bhaskara seja uma ferramenta matemática poderosa, sua aplicação direta no dia a dia pode ser limitada para a maioria das pessoas.

No entanto, existem algumas situações em que é possível utilizar a fórmula de Bhaskara em contextos práticos. Aqui estão alguns exemplos:

• Resolvendo problemas financeiros: A fórmula de Bhaskara pode ser aplicada para calcular juros compostos.

Ou para determinar o tempo necessário para pagar um empréstimo com pagamentos mensais fixos. Isso pode ser útil ao planejar investimentos, calcular pagamentos de hipotecas ou entender o impacto financeiro de um empréstimo.

• Determinando trajetórias de objetos: Se você está jogando um objeto para cima ou para baixo e deseja saber quando ele atingirá o solo.

A fórmula de Bhaskara pode ser aplicada para calcular o tempo necessário.

Isso pode ser útil ao jogar um objeto ou até mesmo ao calcular o tempo necessário para pegar algo que está caindo.

• Problemas envolvendo áreas: Em situações em que você precisa determinar as dimensões de uma área, a fórmula de Bhaskara pode ser útil.

Por exemplo, ao calcular as dimensões de um terreno retangular com uma área específica, você pode usar a fórmula para determinar as medidas apropriadas.

• Modelagem de movimentos: A fórmula de Bhaskara pode ser aplicada para modelar movimentos de objetos em trajetórias parabólicas, como um projétil ou um objeto em queda. Isso pode ser útil em áreas como a física, engenharia e ciência da computação.

• Solução de problemas matemáticos práticos: Em situações cotidianas, podem surgir problemas envolvendo equações quadráticas.

A fórmula de Bhaskara pode ser usada para encontrar as soluções dessas equações e, assim, resolver problemas práticos, como determinar a altura de um objeto lançado ou o tempo necessário para preencher um tanque.

Como a fórmula de Bhaskara é cobrada no enem e em outros vestibulares

A fórmula de Bhaskara é frequentemente cobrada no Exame Nacional do Ensino Médio (ENEM) e em outros vestibulares, geralmente na forma de questões que envolvem a resolução de equações quadráticas.

Essas questões podem estar inseridas em diferentes áreas do conhecimento, como matemática, física, ciências da natureza ou até mesmo em questões interdisciplinares.

A abordagem das questões pode variar, mas em geral, espera-se que os candidatos apliquem a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes de uma equação quadrática ou para resolver problemas práticos relacionados a ela.

Algumas maneiras comuns de como a fórmula de Bhaskara pode ser cobrada no ENEM e nos vestibulares são:

• Resolver uma equação quadrática:

Os candidatos podem ser solicitados a resolver uma equação quadrática dada, onde precisam identificar os coeficientes “a”, “b” e “c” e, em seguida, aplicar a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes da equação.

• Interpretar informações em um contexto: As questões podem apresentar uma situação contextualizada que envolva uma equação quadrática.

Os candidatos devem analisar as informações fornecidas, como uma descrição de um problema do mundo real, e usar a fórmula de Bhaskara para encontrar as soluções relevantes para a situação apresentada.

• Resolver problemas práticos: Os candidatos podem ser desafiados a resolver problemas práticos, como cálculos de áreas, volumes ou problemas envolvendo movimento de objetos.

Nesses casos, a fórmula de Bhaskara pode ser aplicada para encontrar as soluções necessárias para o problema apresentado.

Como estudar a fórmula de Bhaskara

Para estudar a fórmula de Bhaskara de forma eficaz, você pode seguir as seguintes dicas:

1. Compreenda o conceito: Comece entendendo o conceito por trás da fórmula de Bhaskara.

Saiba que ela é usada para encontrar as raízes de uma equação quadrática e entenda sua estrutura, bem como o significado dos coeficientes a, b e c.

• Familiarize-se com a fórmula: Memorize a fórmula de Bhaskara e seus componentes.

Pratique escrevê-la várias vezes para internalizá-la.

3. Revise os conceitos básicos: Certifique-se de ter uma compreensão sólida dos conceitos matemáticos fundamentais relacionados à fórmula de Bhaskara, como exponenciação, operações com números reais e resolução de equações simples.

• Estude exemplos resolvidos: Procure exemplos resolvidos que ilustrem a aplicação da fórmula de Bhaskara passo a passo.

Analise cada etapa do processo e entenda como os coeficientes são substituídos na fórmula e simplificados até se chegar às raízes da equação.

• Pratique com exercícios: Resolva uma variedade de exercícios envolvendo a fórmula de Bhaskara.

Comece com problemas mais simples e, gradualmente, desafie-se com exercícios mais complexos.

Praticar a aplicação da fórmula em diferentes contextos ajudará a consolidar o seu entendimento e melhorar suas habilidades de resolução de problemas.

• Entenda as raízes possíveis: Compreenda que as raízes de uma equação quadrática podem ser reais, imaginárias ou repetidas, dependendo do discriminante (o termo dentro da raiz na fórmula de Bhaskara).

Estude as diferentes situações e aprenda a interpretar os resultados obtidos ao resolver uma equação quadrática.

• Utilize recursos adicionais: Além dos materiais fornecidos na escola, procure recursos adicionais, como livros didáticos, tutoriais em vídeo, sites educacionais ou aplicativos que ofereçam explicações e exercícios relacionados à fórmula de Bhaskara.

Esses recursos podem ajudar a reforçar o seu aprendizado e fornecer exemplos extras para praticar.

• Faça revisões regulares: Não deixe de revisar regularmente a fórmula de Bhaskara e praticar sua aplicação.

Reserve tempo para revisar conceitos e resolver exercícios para manter suas habilidades afiadas.

Lembre-se de que a prática consistente é fundamental para dominar qualquer conceito matemático, incluindo a fórmula de Bhaskara.

Dedique tempo regularmente para estudar e praticar, e não hesite em buscar ajuda adicional caso encontre dificuldades.

Exemplos da Utilização da Fórmula de Bhaskara

Aqui estão alguns exemplos de como essa fórmula pode ser utilizada:

Exemplo 1:

Resolver uma equação quadrática simples Considere a equação quadrática x² – 5x + 6 = 0.

Podemos aplicar a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes dessa equação: a = 1, b = -5, c = 6

x = (-(-5) ± √((-5)² – 416)) / (2*1) x = (5 ± √(25 – 24)) / 2 x = (5 ± √1) / 2

Portanto, as raízes da equação são: x1 = (5 + 1) / 2 = 3 x2 = (5 – 1) / 2 = 2

Exemplo 2: Suponha que você tenha uma situação onde um objeto é lançado verticalmente para cima a partir do solo e você deseja calcular o tempo que leva para ele atingir o solo novamente.

A altura do objeto é dada pela equação h(t) = -5t² + 10t + 15, onde h(t) representa a altura em metros e t é o tempo em segundos.

Para encontrar o tempo em que o objeto atinge o solo, precisamos resolver a equação h(t) = 0.

Substituindo a equação dada na fórmula de Bhaskara, obtemos: -5t² + 10t + 15 = 0

Identificando os coeficientes a = -5, b = 10 e c = 15, podemos aplicar a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes:

t = (-10 ± √(10² – 4*(-5)15)) / (2(-5))

Simplificando a equação, temos:

t = (-10 ± √(100 + 300)) / (-10) t = (-10 ± √400) / (-10) t = (-10 ± 20) / (-10)

Isso nos dá duas soluções possíveis:

t₁ = (-10 + 20) / (-10) = 10 / (-10) = -1

t₂ = (-10 – 20) / (-10) = -30 / (-10) = 3

Nesse caso, o objeto atinge o solo novamente em t = -1 segundo (o que não faz sentido no contexto do problema) e em t = 3 segundos.

Como resolver uma fórmula Bhaskara?

Para resolver uma equação quadrática utilizando a fórmula de Bhaskara, siga os seguintes passos:

• Observe a equação e identifique os coeficientes a, b e c. A equação quadrática é escrita na forma ax² + bx + c = 0.

• Substitua os valores dos coeficientes na fórmula de Bhaskara: x = (-b ± √(b² – 4ac)) / (2a).

• Calcule o discriminante Δ, que é dado por Δ = b^2 – 4ac. O valor do discriminante determina a natureza das raízes da equação quadrática.

Se Δ > 0, a equação possui duas raízes reais e distintas.

Se Δ = 0, a equação possui duas raízes reais e iguais.

Se Δ < 0, a equação possui raízes complexas (imaginárias conjugadas).

• Substitua os valores do discriminante e dos coeficientes na fórmula de Bhaskara e simplifique a expressão.

• Se o discriminante Δ for maior ou igual a zero (Δ ≥ 0), calcule as raízes da seguinte maneira:

Para Δ > 0, as raízes serão diferentes. Calcule as duas raízes utilizando o sinal de “+” e “-” na fórmula de Bhaskara.

Para Δ = 0, as raízes serão iguais.

Calcule apenas uma raiz utilizando o sinal de “+” ou “-“.

• Se o discriminante Δ for negativo (Δ < 0), as raízes serão complexas (imaginárias conjugadas).

Nesse caso, a fórmula de Bhaskara fornecerá uma parte real e uma parte imaginária.

• Apresente as soluções encontradas como as raízes da equação quadrática.

Lembre-se de que a resolução de equações quadráticas envolve operações matemáticas, como adição, subtração, multiplicação, divisão e cálculos de raiz quadrada.

É importante ter cuidado ao realizar essas operações e garantir que todos os passos sejam realizados corretamente.

A prática regular e a resolução de exercícios ajudarão a aprimorar suas habilidades na aplicação da fórmula de Bhaskara.

Referências

DA SILVA MELLO, Michael. FÓRMULA DE BHASKARA. Anais do EVINCI-UniBrasil, v. 1, n. 3, p. 331-331, 2015.

DE ALMEIDA, Erik Danilo Costa et al. História e aplicações da fórmula de bháskara. Caderno de Graduação-Ciências Exatas e Tecnológicas-UNIT-SERGIPE, v. 6, n. 1, p. 163-163, 2020.

DE OLIVEIRA, Iêda Rosimari Binelo Cavalheiro; DA LUZ SILVEIRA, João Vitor; DA SILVA GERMANO, Quezia Isabella Amaral. DESCOMPLICANDO A FÓRMULA DE BHASKARA. Feira Regional de Matemática, v. 2, n. 2, 2018.

SANTOS, José Aldon Garção. O sentido de aprender matemática acerca da fórmula de Bhaskara. 2011.

Imagem: iStock.com/Kenishirotie

Ângela Maria Ferreira de Oliveira Lourdes

Olá me chamo Ângela Maria Ferreira de Oliveira Lourdes, sou bacharel e licenciada em química pela Universidade Federal de Juiz de Fora, UFJF (2011) e Universidade Unopar (2019), respectivamente, mestra em química pela UFJF no ano de 2011, cujo trabalho intitulado de” Caracterização de fertilizantes fortificados com pós de aciaria através da análise exploratória de dados”. E doutora em química pela mesma universidade, 2021 com o trabalho intitulado como: “Estudo de bioacessibilidade de elementos- traço presentes no material particulado atmosférico das cidades de Congonhas e Juiz de Fora”. Nos anos de pós-graduação adquiri experiência na docência de ensino superior e atualmente leciono ciências da natureza em escolas de ensino básico.